Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 10

I kuben nedan är kantens längd 2. I kuben finns en kjusröd boll, som tangerar varje sidoyta i kuben. I ett hörn av kuben finns en mindre, blå boll, som tangerar den stora bollen och tre av kubens sidoytor enligt figuren. Beräkna det exakta värdet av den blå bollens radie.

V13MaauU10_1

_____________________________________________________________________

V13MAA10_2

Vi benämner avståndet från större bollens medelpunkt till kubens hörn a (röd) och motsvarande för lilla bollen b (grön). Eftersom den stora bollen tangerar kubens hörn, gäller a=\sqrt{r_{s}^{2}+r_{s}^{2}+r_{s}^{2}}=\sqrt{3r_{s}^{2}}=\sqrt{3}{{r}_{s}},där {{r}_{s}} är den stora bollens radie. Motsvarande gäller för den lilla bollen b=\sqrt{r_{l}^{2}+r_{l}^{2}+r_{l}^{2}}=\sqrt{3r_{l}^{2}}=\sqrt{3}{{r}_{l}}

Dessutom: a={{r}_{s}}+{{r}_{l}}+b

Vi processar detta:

V13MAAu10_3

 

Eftersom den stora bollens radie har längden 1, innebär det ovanstående att den lilla bollens radie har storleken 2-\sqrt{3} längdenheter!

Också andra resonemang är möjliga.

Annonser

6 tankar om “Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 10

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s