Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 5

V13U5_1

Man kan lösa problemet på flera olika sätt med räknaren. Vi börjar med en snabbkoll. Vi avbildar funktionen grafiskt för att skapa oss en bild av situationen:

U5V13_1

Sedan till en noggrannare analys. Vi börjar med att derivera och kontrollera derivatan nollställen:

U5V13_2

Här är derivatan beräknad. Genom teckenkontroll kan man fastställa att det är fråga om ett maximum för funktionen i punkten x = 4. Största värdet är således f(4)=7{{e}^{-4}} eller ca 0,128.

Vilket är minsta värdet? Nu blir det lite knepigt. Vi borde bevisa att då x > 4 är funktionens värde alltid positivt. Eftersom {{e}^{-x}} är större än noll, räcker det med att undersöka delfunktionen {{x}^{2}}-x-5.

U5_v13_1U5_v13_2

 

På grund av uppgiftens text, intresserar bara det positiva nollstället, som ligger mellan 0 och 4. Då x > 4, saknas nollställen! Funktionen är då vidare strängt avtagande och går mot värdet noll. Då x ligger mellan 0 och 4 är funktionen strängt växande. Minsta värdet bör då vara  f(0)=-5

Också andra resonemang är möjliga!

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com-logga

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s