En småknepig ekvation

Kollegan Edward Krogius är framme igen. Den här gången ber han bloggaren att en dust med ekvationen

\begin{array}{l}{{2}^{a}}(4-a)=2a+4\\\end{array}

Vi ska söka lösningar dels för alla hela tal, dels för alla reella tal.

_________________________________________________________________________________

Vi ska se vad räknaren säger vid en grovkontroll:

Kne1

OK. Sedan kollar vi grafiskt. (a bytes ut mot x)

kne2

Vi zoomar in en aning:

Kne3

Med lite god vilja kan man se svaren. Tydligen är de svar räknaren hittade de enda, men det borde väl bevisas. Vi undersöker ekvationen vänstra led. Vi väljer också att ersätta a med x.

INTEK1

INTEK2

Derivatan har ett nollställe och det motsvarar ett maximum. Vi betecknar {{x}_{0}}=\frac{4\ln 2-1}{\ln 2} och vidare g(x)=2x+4

Eftersom g({{x}_{0}})>f({{x}_{0}}) och g(x) är strängt växande, medan f(x) är strängt avtagande, har vi ingen lösning då x är större än {{x}_{0}}. Med ett motsvarande resonemang ser man att inga lösningar heller finns då < 0.

Samtliga lösningar på ekvationen bör alltså finnas i intervallet 0 ≤ x < x0. Hur många är lösningarna? Det kunde vara intressant att jobba vidare med funktionen f(x)={{2}^{x}}(4-x)-2x-4, men det låter vi bli en ”övningsuppgift”.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com-logga

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s