SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 9

9.

I figuren nedan finns en regelbunden sexhörning, vars sida har längden r.
a) Härled ett uttryck för bredden x som en funktion av r.
b) Härled ett uttryck för höjden y som en funktion av r.
c) Beräkna arean av området mellan sexhörningen och cirkeln, när cirkelns radie är r/2.

U9K_B

a) och b)

En reglebunden 6-hörning har vinkelsumman (6-2)\cdot {{180}^{\text{o}}}={{720}^{\text{o}}}. Var och en av innervinklarna är då \frac{{{720}^{\text{o}}}}{6}={{120}^{\text{o}}} stor.

U9K_B2

I den på bilden markerade triangeln är \begin{array}{l}\alpha +{{90}^{\text{o}}}={{120}^{\text{o}}}\\\alpha ={{30}^{\text{o}}}\end{array}, vilket gör den markerade triangeln till en typtriangel, där a = r/2.                                                                              1 p

Då får vi x=2a+r=2\cdot \frac{r}{2}+r=2r                                   1 p

Vidare får vi att

\begin{array}{l}b=\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r\\y=\sqrt{3}r\end{array}     2 p

c)

U9KB_3

Vi kan dela 6-hörningen i två trapets som bilden visar. Dessa har sammanlagt arean

2\cdot \frac{x+r}{2}\cdot \frac{y}{2}=(2r+r)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}                   1 p

Eftersom cirkeln har arean \pi {{\left( \frac{r}{2} \right)}^{2}}=\frac{\pi }{4}{{r}^{2}}, blir den mellanliggande arean:

\begin{array}{l}2\cdot \frac{x+r}{2}\cdot \frac{y}{2}=(2r+r)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r=\\\frac{3\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}-\frac{\pi }{4}{{r}^{2}}=\left( \frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{4} \right){{r}^{2}}\end{array}                      1 p

KONTROLL

a) och b) fallet visas här med en skärmkapning.

c)-fallet visas här med en skärmkapning.

___________________________________________________________________

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s