SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 15

15.

En rak cirkulär cylinder är placerad inuti en sfär så att basytornas kanter tangerar sfärens yta. Låt beteckna förhållandet mellan sfärens area och cylinderns totala area. Med cylinderns totala area avses summan av areorna av mantelytan och basytorna.
a)
Bestäm förhållandet mellan cylinderns höjd och radien av dess basyta som en funktion av parametern t. (2p) 
För vilka värden på parametern t
b) finns det ingen sådan cylinder?
c) finns det exakt en sådan cylinder?
d) finns det två sådana cylindrar?

Vi använder följande beteckningar:

U15L_1

Enligt Pythagoras sats: {{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}

Sfärens area: {{A}_{s}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( {{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4} \right)=4\pi {{r}^{2}}+\pi {{h}^{2}}

Cylinderns totala area: {{A}_{c}}=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh

Förhållandet mellan dessa: t=\frac{{{A}_{s}}}{{{A}_{c}}}=\frac{4\pi {{r}^{2}}+\pi {{h}^{2}}}{2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh}=\frac{4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{2rh+2{{r}^{2}}}             1 p

a)

Vi söker nu förhållandet h/r som funktion av t:

t=\frac{4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{2rh+2{{r}^{2}}}

\begin{array}{l}t(2rh+2{{r}^{2}})=4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}\\2rht+2{{r}^{2}}t=4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}\quad \underset{{}}{\overset{{}}{\mathop{/:{{r}^{2}}}}}\,\\2\frac{h}{r}t+2t=4+\frac{{{h}^{2}}}{{{r}^{2}}}\end{array}

vilket vi kan skriva i formen:

{{\left( \frac{h}{r} \right)}^{2}}-2t\cdot \frac{h}{r}+4-2t=0

Vi kan alltså beräkna med rotformeln:

\frac{h}{r}=\frac{2t\pm \sqrt{{{(-2t)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (4-2t)}}{2}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}   1 p

b)

Cylindern finns inte om h/r inte kan beräknas enligt resultatet ovan, dvs då diskriminanten

D(t)<0

Alltså:

{{t}^{2}}+2t-4<0

Vi söker nollställena:

t=\frac{-2\pm \sqrt{{{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=-1\pm \sqrt{5}

Grafen av D(t) är en parabel som öppnas uppåt, vilket innebär att D(t) < 0 då

-1-\sqrt{5}<t<-1+\sqrt{5}                                  1 p

U14L_13

Dessutom måste förhållandet t rimligtvis vara positivt för att vi ska ha åtminstone en cylinder.

Vi kan dra slutsatsen att cylindern inte kan finnas om t<-1+\sqrt{5}        1 p

c)

Vi har en enda möjlig cylinder om förhållandet t är entydigt, dvs D(t)={{t}^{2}}+2t-4=0, vilket vi redan beräknat i b)-fallet. Rötterna var t=-1\pm \sqrt{5},varav bara roten t=-1+\sqrt{5} kan godkännas (enligt b)-fallet) eftersom förhållandet t då är positivt.       1 p

Nu kan vi dessutom utgå från att förhållandet h/r bör vara positivt, med följden att

\frac{h}{r}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0

Vi delar upp detta i två delproblem:

I)

t+\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0 för alla reella värden på t.

II)

t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4} kan även anta negativa värden eller vara lika med 0.

Då t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\le 0 kan \frac{h}{r}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4} bara ha ett enda fungerande värde med en enda cylinder som följd. Vi undersöker alltså dubbelolikheten

t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\le 0 och \begin{array}{l}t\ge -1+\sqrt{5}\\\frac{h}{r}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0\end{array}

\begin{array}{l}t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\le 0\\t\le \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\\{{t}^{2}}\le {{t}^{2}}+2t-4\\4\le 2t\\t\ge 2\end{array}

Sammanfattning: Vi har en enda cylinder då:

t=-1+\sqrt{5} eller t\ge 2                                 1 p

d)

Vi har två möjliga cylindrar då

D(t)={{t}^{2}}+2t-4>0 och t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0

vilket på basis av de redan lösta fallen gäller då: -1+\sqrt{5}<t<2    2 p

KONTROLL

Här finns många möjligheter!

U15L_1

Sedan kan man kontrollera de olika räknestegen i samma anda.

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s