Ett märkligt äldre läroboksexempel

Kollegan Edward Krogius har hittat ännu ett intressant problem att bita i. Det hittades i ett prov från 19.10.1945, kursen i KORT matematik, årskurs 2. Hm! Det lyder så här (översatt till svenska):

Vilken ekvation av andra graden har som rötter de inversa värdena av kuben på rötterna till ekvationen x^2-x+3=0?

Inte ett enkelt problem detta! Redan på ögonmått ser vi att den sistnämnda ekvationen saknar reella rötter!! Vi måste alltså operera med komplexa tal. I kort matematik! Ok. Vi kör:

EKC1

Här löstes ekvationen så att de komplexa nollställena (med kommandot czeros), eftersom det går att lagra nollställena i listform då! Dessutom beräknades inversa värdet av kuben på dessa rötter. Nu är vi klara att fortsätta.

EKC2

Svaret på sista raden ovan borde vara det sökta uttrycket. Vi kontrollerar.

EKC3

Svaret ser alltså ut att vara x^2+8x/27+11/27=0

Kan man klara sig utan komplexa tal? Möjligen. Ska ta mig en funderare. Återkommer kanske. Tycker mig minnas någonting som kallas Viete’s teorem. Om någon kan hjälpa, så går det bra att kommentera!

Bloggaren frågar sig ödmjukt vad sjutton en dylik uppgift har att göra i ett prov i kort matematik.

Annonser

7 tankar om “Ett märkligt äldre läroboksexempel

  1. Håller med om att det är litet väl avancerat,
    men man behöver dock inte gå via rötterna.

    Kanske läraren hade informerat om att summan
    av rötterna är -p och produkten q för alla
    andragradsekvationer x^2+px+q=0 med både
    reella och imaginära rötter.

    Då har vi för rötterna till x^2-x+3=0 att
    -1=-(a+b) och 3=ab
    => a+b=1 och ab=3

    och för rötterna till x^2+px+q=0 att
    -p=1/a^3+1/b^3 och q=1/(a^3b^3)

    ab=1 => q=1/(ab)^3=1/27
    => p=-(b^3+a^3)/(ab)^3=-(a^3+b^3)/27

    ( Min TI-nspire CX CAS-räknare kunde inte lösa p ur
    detta samband, men jag kunde faktorisera a^3+b^3. )

    för att komma vidare här behövs tex kubregeln
    (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^3 + b^3 som kan
    grupperas om till a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)
    eller kännedom om att (a+b) är faktor i (a^3 + b^3)

    a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) | & kvadreringsregeln
    =(a+b)((a+b)^2-3ab)=1(1-3(3))=-8

    => p=8/27

    Vi har hittat ekvationen

    x^2 +(8/27)x + 1/27 = 0 | kan multipliceras tex med 27c, c0

    => c( 27 x^2 + 8 x + 1 ) = 0

    Vilket är andragradspolynomet med de inversa kuberna som rötter. 😉

    Gilla

  2. Om dessa lösningar med reella och imaginära rötter som rotformeln genererar i fallena D>=0 och D<o gäller kan vi kolla att summan och produkten av röttena alltid blir -p och q.

    Gilla

  3. Kollar hur det se ut med specialtecken x² istället för x^2

    ”csolve(ax²+bx+c=0, x)” -> x=½[ -i√(4ac-b²) – b ]/a or x=½[ i√(4ac-b²) – b ]/a
    alltså fallet då D=b²-4ac x=½[ -b -√(b²-4ac)]/a or x=½[-b +√(b²-4ac)]]/a
    alltså med reella rötter och fallet då D=b²-4ac>0.

    ”csolve(x²+px+q=0, x)” -> x=[ -½p–√(¼p² – q) or x= -½p+√(¼p² – q)
    alltså med de reella rötterna i fallet då D=b²-4ac>0

    Kontrollräkning av att reella och imaginära rötters summa och produkt
    blir -p och q.

    x₁+x₂ = -b/2a = -p
    x₁x₂ = [b² – (b²-4ac)]/4a² = c/a = q

    z₁+z₂ = -b/2a = -p
    z₁z₂ = [b² + (4ac-b²)]/4a² = c/a = q

    VSB.

    Gilla

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s