SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 14

14.

En placerare uppskattar kursutvecklingen för en aktie med hjälp av en sannolikhetsfördelning, vars frekvensfunktion antar sitt maximum vid marknadsvärdet 20,50 euro och har värdet noll vid avvikelser från detta värde som är större än 5 euro. Frekvensfunktionen är kontinuerlig, och dess graf består av två linjära delar i intervallet 15,50 – 25,50 euro.
a)
Bestäm ett uttryck för frekvensfunktionen. (3 p)
b)
Hur stor är sannolikheten för att aktiens marknadsvärde är under 19 euro. (2 p)
c)
På grund av att de övriga kurserna har stigit ändrar placeraren fördelningen så att den blir osymmetrisk. Den antar fortfarande sitt maximum vid värdet 20,50 euro, men han flyttar nollstället 25,50 euro till 30,50 euro. Annars förblir fördelningen av samma typ som tidigare. Bestäm väntevärdet för den nya fördelningen. (4 p)
______________________________________________________________________________

OBS!

I uppgiften har SE-nämnden åstadkommit ett översättningsfel. Det här är inte en frekvensfunktion. I den finskspråkiga versionen av texten används termen ”tiheysfunktio” vilket betyder täthetsfunktion.

a)

U14_1

Täthetsfunktionen som beskrivs, är här avbildad. Triangelns ”höjd” får vi ur villkoret att arean triangelns begränsar med x-axeln är 1 areaenhet stor. då får vi:

\begin{array}{l}\frac{1}{2}\cdot \left( 25,5-15,5 \right)h=1\\5h=1\\h=\frac{1}{5}=0,2\end{array}                                                  1 p

Grafen består av två linjesegment. Vi bestämmer riktningskoefficienten för linjerna segemten ligger på:

\begin{array}{l}{{k}_{1}}=\frac{0,2-0}{20,5-15,5}=0,04\\{{k}_{2}}=\frac{0-0,2}{25,5-20,5}=-0,04\\\end{array}

Linjernas ekvationer är då:

\begin{array}{l}y-{{y}_{0}}=k\cdot (x-{{x}_{0}})\\y-0=0,04\cdot (x-15,5)\\y=0,04x-0,62\end{array}

och

\begin{array}{l}y-0=-0,04\cdot (x-25,5)\\y=-0,04x-1,02\end{array}          1 p

Fördelningsfunktionen är då:

f(x)=\left\{ \begin{array}{l}0,04x-0,62\quad ;15,5\le x\le 20,5\\-0,04x-1,02\ \,\,;20,5<x\le 25,5\\quad \quad \quad \quad \quad \ ;x<15,5\vee x>25,5\end{array} \right.     1 p

b)

Den sökta sannolikheten är:

\begin{array}{l}P(x<19)=\int\limits_{-\infty }^{19}{f(x)dx=}\int\limits_{-\infty }^{19}{(0,04x-0,62)dx=}\\=\underset{15,5}{\overset{19}{\mathop{/}}}\,(0,02{{x}^{2}}-0,62x)=(0,02\cdot {{19}^{2}}-0,62\cdot 19)-(0,02\cdot {{15,5}^{2}}-0,62\cdot 15,5)\\=0,245\end{array}     1 p

Svar: Sannolikhgeten är ca 0,25                                                                                          1 p

KONTROLL a) och b):

ex1

Vi börjar med att placera ut de punkter i koordinatsystemet vi utgick ifrån. Sedan drar vi linjer genom punkterna som definierar triangelns sidor. Vi låter räknaren bestämma dessa linjer ekvationer:

U14L_2

Sedan definerar styckvis vi en funktion här visat på datorskärm – räknarskärmen vill bli för liten:

U14L_3

Ser bra ut. Nu återstår integrationen:

U14L_4

Ser bra ut alltså!

Också andra detaljer kan kontrolleras om man vill.

c)

Vi planerar om fördelningsfunktionen.

\begin{array}{l}\frac{1}{2}\cdot \left( 30,5-15,5 \right)h=1\\\frac{15}{2}h=1\\h=\frac{2}{15}(\approx 0,133..)\end{array}                                        1 p

U14L_10

Sidosegmenten har riktningskoefficienterna:

\begin{array}{l}{{k}_{1}}=\frac{\frac{2}{15}-0}{20,5-15,5}=\frac{2}{75}\\{{k}_{2}}=\frac{0-\frac{2}{15}}{30,5-20,5}=-\frac{1}{75}\end{array}

Linjerna som segmenten följer:

\begin{array}{l}y-0=\frac{2}{75}\cdot (x-15,5)\\y=\frac{2}{75}x-\frac{31}{75}\end{array}

och

\begin{array}{l}y-0=-\frac{1}{75}\cdot (x-30,5)\\y=-\frac{1}{75}x+\frac{61}{150}\end{array}

Den nya täthetsfunktionen är:

f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{75}x-\frac{31}{75};\quad \quad 15,5\le x\le 20,5\\-\frac{1}{75}x+\frac{61}{150};\quad 20,5<x\le 30,5\;\quad \quad \quad \quad \quad \quad x<15,5\vee x>30,5\end{array} \right.                                         1 p

Väntevärdet:

E(x)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{xf(x)dx=\int\limits_{15,5}^{20,5}{x\left( \frac{2}{75}x-\frac{31}{75} \right)dx+}\int\limits_{20,5}^{30,5}{x\left( \frac{-1}{75}x+\frac{61}{150} \right)dx=}}      1 p

\begin{array}{l}=\underset{15,5}{\overset{20,5}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{75}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{31}{75}{{x}^{2}} \right)+\underset{20,5}{\overset{30,5}{\mathop{/}}}\,\left( -\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{75}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{61}{150}x{}^{2} \right)=\\=\underset{15,5}{\overset{20,5}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{2}{225}{{x}^{3}}-\frac{31}{150}{{x}^{2}} \right)+\underset{20,5}{\overset{30,5}{\mathop{/}}}\,\left( -\frac{1}{225}{{x}^{3}}+\frac{61}{300}x{}^{2} \right)=\\=\frac{2}{225}\cdot {{20,5}^{3}}-\frac{31}{150}\cdot {{20,5}^{2}}-\left( \frac{2}{225}\cdot {{15,5}^{3}}-\frac{31}{150}\cdot {{15,5}^{2}} \right)\\-\frac{1}{225}\cdot {{30,5}^{3}}+\frac{61}{300}\cdot {{30,5}^{2}}-\left( \frac{1}{225}\cdot {{20,5}^{3}}+\frac{61}{300}\cdot {{20,5}^{2}} \right)=\\=\frac{133}{6}\approx 22,17\end{array}

Svar: Väntevärdet är 22,17 euro                                       1 p

KONTROLL:

Täthetsfunktionen kan kontrolleras som tidigare. Ingenting nytt där. Vi koncentrerar oss på integralen:

U14L_11

Ser bra ut så här långt! Sedan den bestämda integralen.

U14L_12

 

Jo jo!

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s