SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 11

11.

a)
I en geometrisk talföljd är två på varandra följande termer rationella tal. Visa att alla termer i talföljden är rationella tal.
b)
I en geometrisk följd är åtminstone två av termerna rationella. Visa att antalet rationella termer är oändligt.

a)

Talföljden är geometrisk. Talföljdens n:te term är av typen

{{a}_{n}}=a\cdot {{q}^{n-1}}

Vi antar här att n\in {{\mathbb{Z}}_{+}}. Om a = 0 är alla termer 0 och antagandet gäller. Vi undersöker alltså fallet a är olika noll, vilket också gäller samtliga andra termer.

Antagandet innebär att det finns ett tal k\in {{\mathbb{Z}}_{+}} sådant att {{a}_{k}},{{a}_{k+1}}\in \mathbb{Q}. Då måste förhållandet

\frac{{{a}_{k+1}}}{{{a}_{k}}}=\frac{a\cdot {{q}^{k}}}{a\cdot {{q}^{k-1}}}=q                 1 p

också vara ett rationellt tal.

Eftersom q\in \mathbb{Q}, måste {{q}^{k}} som en produkt av rationella tal också vara rationellt. Vi kan då skriva: {{a}_{k+1}}=a\cdot {{q}^{k}} eller a=\frac{{{a}_{k+1}}}{{{q}^{k}}}, vilket är rationellt.                                                                    1 p

Av det följer att varje element i talföljden {{a}_{n}}=a\cdot {{q}^{n-1}} är en produkt av rationella tal och därför i sig själv ett reellt tal.                                                                          1 p

Några kontrollmöjligheter:

U11_1

Inte ett bevis minsann, men intressant som simpel arbetsmöjlighet. Kan utvecklas!

b)

Vi använder samma beteckningar som ovan.

Enligt antagandet finns det s,t\in {{\mathbb{Z}}_{+}}, sådana att

\frac{{{a}_{t}}}{{{a}_{s}}}=\frac{a\cdot {{q}^{t-1}}}{a\cdot {{q}^{s-1}}}={{q}^{(t-1)-(s-1)}}=q{}^{t-s}                                                                                                           1 p

Detta är ett rationellt tal (enligt antagandet).

Vi betecknar: p=q{}^{t-s} varvid talföljden har element av typen

a{}_{s+k(t-s)}={{a}^{s+k(t-s)-1}}=a\cdot {{q}^{s-1}}\cdot {{q}^{(t-s)k}}={{a}_{s}}\cdot {{p}^{k}}

där k är ett naturligt tal. Eftersom dessa tal är produkten av rationella tal, är de rationella. Det finns dessutom oändligt många tal av denna typ. Antagandet är sant.                  2 p

Kontroll:

U11L_2

Också andra möjligheter finns.

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s