SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 10

10.

U10L

___________________________________________________________________________

Vi skriver om ekvationen {{e}^{x+a}}=x i formen {{e}^{x+a}}-x=0 och definierar funktionen f(x)={{e}^{x+a}}-x, vars nollställen vi undersöker. Dessa nollställen motsvarar den ursprungliga ekvationens lösningar.

Derivering:

{f}'(x)={{e}^{x+a}}-1

Derivatans nollställen:

\begin{array}{l}{f}'(x)={{e}^{x+a}}-1=0\\{{e}^{x+a}}=1\quad \left| \ln () \right.\\\ln \,{{e}^{x+a}}=\ln \,1\\x+a=0\\x=-a\end{array}            1 p

Andra derivatan beräknas och: {{f}'}'(x)={{e}^{x+a}}>0 för \forall x\in \mathbb{R}

Detta betyder att {f}'(x) är strängt växande, vilket vidare innebär att {f}'(x)<0x < –a och {f}'(x)>0x > –a. Funktionen  f(x) har alltså exakt ett minimum, vid x = –a.      1 p

Vi beräknar nu: f(-a)={{e}^{-a+a}}-(-a)={{e}^{0}}+a=1+a

Nu har vi tre alternativ:

a > -1, har f(x) ett positivt minimum och nollställen saknas.                 1 p

a = -1 har f(x) ett mimimum med värdet 0 och alltså ett nollställe.       1 p

Då återstår fallet a < -1. Då gäller också +1 < 0, alltså minimumvärdet är nu negativt.

Vi undersöker vilket tecken funktionen f(x) har på vardera sidan om det negativa minimumvärdet. Vi x = 0 och x = -2a.

f(0)={{e}^{0+a}}-0={{e}^{a}}>0

f(-2a)={{e}^{-2a+a}}-(-2a)={{e}^{-a}}+2a

Vi definierar nu funktionen g(a)=f(-2a)={{e}^{-a}}+2a, vilken vi undersöker närmare.

Derivering: {g}'(a)=-{{e}^{-a}}+2. Vi undersöker när denna derivata är negativ.

\begin{array}{l}-{{e}^{-a}}+2<0\\-{{e}^{-a}}<-2\ \quad \left| \cdot (-1) \right.\\{{e}^{-a}}>2\quad \left| \ln () \right.\\-a>\ln 2\quad \left| \cdot (-1) \right.\\a<-\ln 2\simeq -0,693\end{array}

Detta betyder att {g}'(a)<0 för alla värden på a < -1

————————————————    -1   ——————————

g´(x)                            –

g(x)                              \nearrow

Det minsta värdet g(-1)={{e}^{-1(-1)}}+2\cdot (-1)\approx 0,718>0         1 p

Eftersom minsta värdet för g(x) är positivt är g(a) och därför även f(-2a) positiva för alla a < -1.

Funktionen f(x) är monoton på vardera sidan om x = –och kan därför ha högst ett nollställe på vardera sidan om detta värde. Eftersom f(x) ändrar tecken inom intervallen \left[ 0,-a \right] och \left[ -a,-2a \right] finns det exakt ett nollställe i vardera intervallet, alltså sammanlagt två nollställen.

Svar: Lösningar saknas då a > -1, det finns en lösning då a = -1 och det finns exakt två lösningar då a < -1.

1 p

Sedan till diverse kontrollmöjligheter:

U10L_1

U10L_2

Grafiska alternativ:

U10L_3

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s