SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 9

8.

Låt

\begin{array}{l}\bar{a}=(\cos \varphi -2\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\bar{k}\\\bar{b}=(\cos \varphi +\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi -\cos \varphi )\bar{k}\end{array}

a) Visa att vektorerna {\bar{a}} och {\bar{b}} är vinkelräta mot varandra för alla \varphi \in \mathbb{R}

b) Låt \varphi =0. Finns det sådana koefficienter s,t\in \mathbb{R} att \bar{i}-\bar{j}=s\bar{a}+t\bar{b}

___________________________________________________________________________

Vi tar den teoretiska delen först och kontrollerar sedan.

Vektorerna är vinkelräta om vardera vektorn är olika nollvektorn och deras deras punktprodukt är noll. Vi undersöker punktprodukten:

\bar{a}\cdot \bar{b}=\left[ (\cos \varphi -2\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\bar{k} \right]\cdot \left[ (\cos \varphi +\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi -\cos \varphi )\bar{k} \right]

=(\cos \varphi -2\sin \varphi )\cdot (\cos \varphi +\sin \varphi )+1+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\cdot (\sin \varphi -\cos \varphi )

={{\cos }^{2}}\varphi +\cos \varphi \sin \varphi -2\sin \varphi \cos \varphi +2{{\sin }^{2}}\varphi +1+{{\sin }^{2}}\varphi -\sin \varphi \cos \varphi +2\cos \varphi \sin \varphi -2{{\cos }^{2}}\varphi                                                         1 p

=1-{{\sin }^{2}}\varphi -{{\cos }^{2}}\varphi =1-({{\sin }^{2}}\varphi +{{\cos }^{2}}\varphi )=1-1=0                                                                        1 p

Vektorerna är alltså vinkelräta.                            1 p

Up9L_1

b)

Vi väljer nu \varphi =0 vilket ger:

\begin{array}{l}\bar{a}=(\cos 0-2\sin 0)\bar{i}+\bar{j}+(\sin 0+2\cos 0)\bar{k}=\bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}\\\bar{b}=(\cos 0+\sin 0)\bar{i}+\bar{j}+(\sin 0-\cos 0)\bar{k}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}\end{array}         1 p

Sedan väljer vi s,t\in \mathbb{R} och

\begin{array}{l}s\bar{a}+t\bar{b}=s\left( \bar{i}+\bar{j}+2\bar{k} \right)+t\left( \bar{i}+\bar{j}-\bar{k} \right)=\\(s+t)\bar{i}+(s+t)\bar{j}+\left( 2s-t \right)\bar{k}\end{array}

Sedan undersöker vi villkoret s\bar{a}+t\bar{b}=\bar{i}-\bar{j}

Vi har alltså:

\left\{ \begin{array}{l}s+t=1\\s+t=-1\\2s-t=0\end{array} \right.

1 p

vilket saknar lösning (de två första ekvationerna kan inte gälla samtidigt).

De sökta talen s och t existerar inte.                     1 p

U9L_3_edited-1

Kontrollen kan givetvis ske på andra sätt också!

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s