En smårolig derivatauppgift med kontroll

Exemplet lyder så här:

En rektangel har ett hörnet i origo och två av sina sidor placerade på de positiva koordinataxlarna. Det diagonalt motsatta hörnet ligger på linjen 2x+y=100. Vilken är den största arean rektangeln kan få?

Låter som en derivatauppgift! Vi gör en snabb genomgång av den tekniska lösningen:

Vi löser först ut y ur linjens ekvation: y = -2x + 100 (där 0<x<50).

Sedan utvecklar vi ett uttryck för arean av rektangeln: A(x) = x*(-2x+100) = -2x^2 + 100x

Derivering: A´(x) = -4x + 100 med nollstället x = 25. Derivatans nollställe motsvarar ett maximum för funktionen A(x) (en parabel med toppen uppåt).

Största arean borde vara A(25) = -2*25^2+100*25 = 1250 areaenheter?

Saken kan kontrolleras på olika sätt. Väljer ett alternativ väl lämpat för demonstration här:

En fil med namnet RektangelDer.tns med material finns i Box-verktyget!

Mellan de olika arbetsmomenten, måste man hela vägen komma ihåg att trycka på Esc, när man klarat av ett delsteg!

Linjen har ritats ut och en godtycklig punkt placerats på den. Följande steg är att konstruera paralella linjer till koordinataxlarna genom punkten: (Menu, 8-Geometri, 4-Konstruktion, 2-Parallell)

Markera sedan skärningspunkterna mellan dessa paralleller och koordinataxlarna. Markera också koordinataxlarnas skärningspunkt, origo. (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Nu har vi rektangelns hörn. Man kan rita in en rektangel på bilden, men det kan vara knepigt att ”fästa hörnen” på ett vettigt sätt. Vi väljer en annan metod. Placera in två segment, från origo till parallellernas skärningspunkter med koordinataxlarna (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 5-Segment). Mät sedan längden på segmenten (Menu, 8-Geometri, 3-Mätning, 1-Längd).

Vi har nu rektangelns bredd och höjd!

Nu följer det egentliga knepet. Vi lagrar de två mätresultaten med variabelnamnen h och b. Klicka på et av dem så att den gråmarkeras. Tryck sedan på tangenten var

Välj namnet h för höjden. Upprepa med bredden.

Placera sedan i en text med utseendet h*b någonstan på skärmen (Menu, 1-Åtgärder, 7-text):

Gråmarkera texten och völj beräkna (Menu, 1-Åtgärder, 9-Beräkna). Klicka på texten h*b och markera b och h.

Man kan grabba tag i punkten på linjen och flytta den av och an. Då ser man hur rektangelns area variera!

Saken kan också demonstreras på ett ytterligare sätt. Vi öppnar ett kalkylark i vårt dokument. Vi väljer rubriker på tre kolumner, t.ex.:

Gå nu till kommandoraden (den grå) i första kolumnen. Tryck på Menu och välj:

Välj namn enligt variabeln på grafskärmen:

Upprepa för höjden, men vänta med arean.

Lagra den beräknade arean t.ex. med namnet area. Det sker på samma sätt som b och lagrades tidigare.

Återvänd till kalkylarket och plocka in arean värde i de tredje kolumnen.

Gå nu tilbaka till grafen, grabba tag i koordinathörnet på linjen och för den av och an längs linjen ett antal gånger. Det som händer är att datapunkter automatiskt överförs till kalkylarket!

Nu ska vi avbilda detta. Öppna i samma dokument en statistikskärm:

Nu är vi nästan framme vid målet. Gå ner till texten ”Klicka för att lägga till variabel”. Placera bas på x-axeln och arean på y-axeln. Sedan får vi:

Vackert så!

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s