SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 5

5.

Bestäm det största och det minsta värdet av polynomet f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2 i intervallet \left[ 2,6 \right]

f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2

Derivering ger:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}-12x-15                                                                 1 p

Derivatans nollställen:

\begin{array}{l}3{{x}^{2}}-12x-15=0\\\end{array}   vilket kan divideras med 3:

{{x}^{2}}-4x-5=0

x=\frac{4\pm \sqrt{{{(-4)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm 6}{2}                                    1 p

Rötterna är: x = 5 och x = -1, men den senare ligger utanför intervallet \left[ 2,6 \right]   1 p

Polynomet f(x) är kontinuerligt i det undersökta intervallet och deriverbart i intervallet \left] 2,6 \right[, vilket innebär att polynomet i det slutna intervallet antar ett största och ett minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter.            1p

Kontroll:

\begin{array}{l}f(2)={{2}^{3}}-6\cdot {{2}^{2}}-15\cdot 2+2=-44\\f(5)={{5}^{3}}-6\cdot {{5}^{2}}-15\cdot 5+2=-98\\f(6)={{6}^{3}}-6\cdot {{6}^{2}}-15\cdot 6+2=-88\end{array}

Vi ser att -44 är det största och -98 det minsta värdet.

Svar: f(x) antar i intervallet  \left[ 2,6 \right]   största värdet -44 och minsta värdet -98              2 p

Kontroll med räknaren:

Också en grafisk kontroll kan vara bra:

Här har vi valt ”Fönsterinställningarna” så, att x-minimum = 2 och x-maximum = 6. Sedan kan man välja Anpassning under menyn för ”Fönsterinställningar” (smått fjantig term, men vad sjutton).

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s