SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 4

4.

a)

\alpha \in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2} \right] och \cos \alpha =-\frac{1}{3}

Vi använder: {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1

och får: \sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }

Vi analyserar läget och avgör tecknet med hjälp av enhetscirkeln:

Bilden visar att vi bör välja den negativa lösningen.

\begin{array}{l}{{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1\\\sin \alpha =-\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\end{array}

insättning av \cos \alpha =-\frac{1}{3} ger

\sin \alpha =-\sqrt{1-{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}}

\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}         1 p

Sedan bestämmer vi \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }

Insättning av ovan beräknade resultat:

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Svar:  \sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3},\ \ \tan \alpha =2\sqrt{2}            1 p

Kalkylatorns kontrollmöjligheter? Man kan arbeta vidare på olika sätt. Ett förslag:

De två översta raderna är bara ett sätt att kontrollera formelns giltighet!

Det finns andra möjligheter. Man kan t.ex. rita enhetscirkeln på en geometriskärm och kontrollera geometriskt om tiden räcker till.

Uppgiften visar det att kalkylatorn inte täcker alla eventualiteter. Man måste klara en hel del matematik ”själv”.

b)

Vi använder cosinus-satsen:

{{a}^{2}}=3{}^{2}+{{2}^{2}}-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos ({{30}^{\text{o}}})      1 p

{{a}^{2}}=9+4-12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

{{a}^{2}}=13-6\cdot \sqrt{3}

{{a}^{2}}=13-6\cdot \sqrt{3}                                                                                 1 p

Vi acceperar den positiva lösningen:

Svar: Den tredje sidan har längden: a=\sqrt{13-6\sqrt{3}}\approx 1,61 längdenheter

1 p

Kontroll! OBS: Vinkelmåttet är grader!

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com-logga

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s