MAA7 Kursprov uppgift 9

I en rak cirkulär kon, ska en rak cirkulär cylinder inskrivas så, att cylinderns symmetriaxel sammanfaller med konens symmetriaxel. Cylinderns ena basyta ligger på konens basyta, medan periferin (omkretsen) av cylinderns andra basyta ligger på konens mantelyta. Konens höjd är 10 längdenheter och basytans radie är r. Bestäm cylinderns höjd, så  att dess volym blir så stor som möjligt. (Ledtråd: rita bilder och tänk på likformiga trianglar).

Vi inleder med att öppna en geometri-skärm och ritar en sidoprojektion av situationen: (alla kommandon finns bakom menu-tangenten!)

För att få en RAK cirkulär kon, rutas först ett segment. Sedan markeras mittpunktsnormalen till segmentet och konens sidor dras ut.  Sedan konstrueras en parallell till bassegmentet och paraleller med mitppunktsnormalen. Slutligen markeras nya segment så att cylinderns sidoprofil visas. Läget är nu, före och efter det att onödiga elements dolts:

Vi kallar nu höjden i cylindern för h och cylinderns radie rc. Då är höjden i den lilla topptriangeln 10-h.  Vi kan ställa upp följande förhållande grundat på trianglars likformighet:

Den sista raden visar en möjlighet att få fram derivatan nollställen. Om h = 10  har vi ett minimum (volymen är = 0). Om h = 10/3 har vi ett maximum. Definitionsmängden är 0 < h < 10.

Svar: h = 10/3 ger maximal volym.

Återstår bara att anteckna idéerna prydligt på provpappret!

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s