MAA7 Kursprov uppgift 2

a) Förklara vad det innebär att en funktion f(x) är kontinuerlig i en punkt x = a

b) Ge exempel på en funktion som är diskontinuerlig i punkten x = 2

c) Bestäm konstanten a så att funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}7-4x,x<a\\{{x}^{2}}+2x,x\ge a\end{array} \right. är kontinuerlig överallt.

a)

En funktion f(x) är kontinuerlig i punkten a om 2 villkor gäller:

1. \underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)

2. \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a)

Funktionen ska alltså ha ett entydigt gränsvärde i var och en av sina punkter och detta gränsvärde ska överensstämma med funktionsvärdet.

b)

Det finns massor av exempel. Vi hittar på ett.

Funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}x,x\le 2\\-x+1,x>2\end{array} \right.är diskontinurérlig i punkten x=2 med motiveringen att ett gränsvärde där saknas.

c)

Vi lägger upp vår strategi med en grafskärm.

Det skulle uppenbart fungera om vi definierar a så att funktionernas grafer ”sammanfaller”, vilket de gör på 2 ställen!!! Vi beräknar skärningspunkternas x-koordinater:

Villkoren uppfylls!

På motsvarande sätt kan punkten a = 1 testas.

Svar: a = -7 och a = 1

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com-logga

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s