En rolig egenskap hos tredjegradsfunktionen

Följande lilla problem blev jag uppmärksammad på av kollegan Bengt Åhlander i Sverige. För en matematiklärare är det en fin provuppgift. För en studerande är det en bra förberedelseuppgift, då proven närmar sig.

Problem

Markera tre olika punkter A, B och C i denna ordningsföljd på x-axeln. Konstruera ett polynom av tredje graden, vars graf går genom punkterna. Konstruera tangenten till grafen av polynomet i mittpunkten mellan A och B. Var skär denna tangent x-axeln?

Vi experimenterar först en aning. Vi väljer tre punkter A, B och C, beräknar uttrycket för ett polynom genom dessa punkter, konstruerar medelnormalen till sträckan AB och konstruerar slutligen polynomgrafens tangent i skärningspunkten mellan denna medelnormal och själva grafen:

Punkterna som valdes råkar i vårt exempel ha x-koordinaterna -2, 3 och 5. Polynomets graf har ritats ut i ett koordinatsystem, som anpassats en aning. Vi markerar nu polynomgrafens nollställen:

Det nya operativsystemet 3.2 har förnyade menyer. Punkter och linjer hittar man via menu och geometri. sedan pekar man på x-axeln och grafen av polynomet. Skärningspunkterna markeras då automatiskt. Nästa steg är att markera mittpunktsnormalen till sträckan mellan x-koordianterna -2 och 3: (menu och geomteri igen)

Sedan söker vi skärningspunkten mellan normalen och grafen och konstruerar tangenten till grafen i denna punkt. Man måste då först konstruera en linje längs normalen (som tydligen inte är ett ”geometriskt element”).

Tangenten ritas ut med ”vektorutseende”. Du kan bli tvungen att dra ut den ena pilspetsen för att se var tangenten skär x-axeln. Tufft! Tangenten går genom punkten C!

Är detta en universell egenskap? Under vilka villkor  fungerar det hela? Prova!

Utmaning! Kan du bevisa att om det finns tre skärningspunkter, så ”träffas den tredje” enligt problemet ovan. Kan du bevisa det i det allmänna fallet, då punkternas x-koordinater är a ,b  och c. Kan du utnyttja CAS-teknik!

Annonser

En tanke på “En rolig egenskap hos tredjegradsfunktionen

  1. Ping: Matematiska bevis med CAS – ett exempel med ett polynom av tredje graden | TI-Nspire™ CAS – en räknarblogg

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s