Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 7-9

Vi utnyttjar nu räknarskärmen och jobbar oss igenom uppgiften stegvis. Observera hur funktionen definieras (med define och vanligt likamedstecken). Observera också att du måste mata in multiplikationstecken (”gånger”) i funktionen!

Det faktum att funktionen går genom punkten (0,1/t), ger oss ett värde på c:

Nu vet vi c. Sedan deriverar vi:

Vi utnyttjar nu tangeringtspunkten med x-axeln:

Vi har nu a och c definierade som funktioner av t. Återstår alltså b och hela funktionen:

Här är svaret på a)-fallet!

Sedan integrerar vi:

Den bestämda integralen leder till numeriska värdet 1/3 , vilket är oberoende av t.

a)

Vi börjar med en snabb grafisk kontroll:

Här ser man att 50%-gränsen uppnås på ca 11 dygn, samt att funktionen verkar vara strängt växande, vilket dock bör bevisas.

En noggrannare analys görs nu med grafskärmen. Observera att uträkningar gör i kommentarform. Ingenting beräknas automatiskt denna gång. Slutkontroll är ändå möjligt att utföra!

I den sista rutan kontrolleras resultatet!

b)

Nu deriverrar vi:

Kan man kontrollera detta? Ett sätt är att flytta sig uppåt med kursorn och måla uttrycket (Shift-knappen intryckt och kursorhjulet). Sedan trycker man på Ctrl-C (kopiera). Tryck på Enter.

Man kan ibland bli tvungen att trycka på Ctrl-V (klistra in), speciellt om man vill klistra in någonting i ett längre uttryck.

Räknaren utvecklar uttrycket till en något jobbig numerisk form, men…

Den direkta deriveringen visar att vårt resonemang håller streck!

Nämnaren i rutan ovan är alltid positiv, vilket innebär att hela funktionen alltid antar positiva värden. Då är f(t) strängt växande (vilket i detta fall speciellt gäller då t>0!

c)

Vi ska undersöka gränsvärdet för f(t) då  t går mot oändligt.

Vi tar det i två steg:

Vi har nu beräknat och lagrat ett värde för h. (Lagring sker med sto eller Ctrl-var).

Ringens area blir slutligen:

Arean är alltså ca 68 kvadratcentimeter.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s