Kan man enkelt skriva ut Fibonaccitalen med CAS

Detta som svar på en fråga i skolan:

Enligt Wikipedia definieras Fibonaccitalen så här:

Det här skulle generera talföljden 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Bloggaren har tidigare lärt sig att nollan i början utelämnas i det klassiska exemplet på Fibonaccital, men nu kör vi så här. Kan man bilda en del av talföljden med CAS. Det går bra, t.ex. så här:

Vi börjar med att i ett kalkylark skriva de två första talen. I rutan a3 gör vi sedan en definition: =a1+a2:

Ett tryck på ENTER ger:

Nu kopierar (Ctrl-C pågen PC eller Cmd-C på Mac) vi rutan a3 nedåt ett önskat antal gånger: (måla och tryck på Ctrl-V eller Cmd-V.

Om vi ger ett namn åt denna lista över en del av talföljden:

kan vi plocka ut talen på t.ex. Anteckningar-skärmen:

Det var det!

För ett antal år sedan (över 20 tror jag), hade man i studentprovet en uppgift, där man skulle räkna närmevärdet för förhållandet mellan 36 och 35 talet i följden. Man skulle då lista upp alla de tidigare termerna och inte göra fel på vägen! Tog sin tid minsann. Listan ses ovan.

Vi räknar:

Ser det bekant ut? Om inte – kolla andra inlägg om Fibonaccital, Gyllene snittet och talet phi i denna blogg!

Mycket nöje!

 

 

 

MaA Våren 2017 uppgift 13

 

MaA Våren 2017 uppgift 12

 

MaA Våren 2017 uppgift 11

a)

Märkligt nog är skalan på y-axeln inte markerad! Vi måste därför göra ett antagande om den. Vi utgår från att skalan är linjär och markerar in (de gissade) %-nivåerna:

Vår gissning understöds av det att en snabb summering av staplarnas storlek, som ger ca 100 % svar.

b)

Bilden visar en sådan fördelning. I frekvensspalten föreslås hur många chaufförer ger sig själv respektive vitsord. Statistiken är beräknad i fjärde spalten. Medeltalet är 8,9 och medianvitsordet 10.

 

 

 

MaA Våren 2017 uppgift 10

MaA Våren 2017 uppgift 9

MaA Våren 2017 uppgift 8

 

Vi inleder med att undersöka grafen av ”ekvationen” skriven som en funktion.

 Nu har vi en bild av vad vi ska göra. Om vi utan en graf vill bevisa att funktionen har nollställen. kan vi resonera så här:

är ett polynom av tredje garden och som sådan kontinuerlig för alla reella värden på x.  En enkel kontrollräkning ger

Enligt Bolzanos sats har funktionen ett nollställe mellan x = -4 och x = 2.  De övriga nollställena kan konstateras på motsvarande sätt, eftersom

Baserat på grafen är det tydligen det sistnämnda nollstället vi söker. Det är enkelt att lösa problemet med kunskap om vad Newtons metod innebär.

På Anteckningar-skärmen kan man t.ex. länka ett antal kommandon, där man kan utnyttja kopiering för att skriva mindre:

SVAR Med fyra gällande siffror är nollstället x = -0,4425

Vi kan också skriva ihop ett kort program

Bilden visar programmet. När det är kontrollerat och lagrat

kan det köras i räknarrutan. Vi börjar med att göra gissningen, här a = 0. Sedan kör vi med kommandot newton(). Varje tryck på ENTER gr sedan ett nytt närmevärde för vår rot (om gissningen lyckades och metoden konvergerar). Sex körningar ger:

vilket verkar övertygande.

Svar: Nollstället hittas vid x = -0,4425 med fyra decimalers noggrannhet.

(De andra nollställena kan snabbt beräknas motsvarande)

 

 

 

 

 

 

MaA Våren 2017 uppgift 7

Vi betecknar inre höjden med h och inre bottenradien med x:

 

 

MaA Våren 2017 uppgifterna 5 och 6

f

Svar: Volymen är

volym enheter

 

 Vi konstaterar först med tanke på kommande att

 

På bilden har ett par av triangelbitarna markerats

Vi kan nu granska hur mycket av plattan som återstår när första biten kapats. Triangeln ABD (som blir kvar efter första kapandes) är likformig med hela triangeln ABC, eftersom två vinklar har samma storlek (en är rät och en 30 grader). Sedan konstaterar vi:

Det ger oss en (längd)skala för de längre katetrarna i ABD och ABC. När första biten kapats återstår alltså

av den ursprungliga bitens area. Eftersom de följande bitarna är likformiga med den nya helheten, kapas varje gång en fjärdedel till, och då är den återstående biten area:

där n är antalet kapningar och A den ursprungliga arean.

Om vi kapar 97 % återstår 3 %, vilket ger oss en möjlighet att lösa problemet med en ekvation (eller olikhet om man vill):

Om man sedan tolkar texten, måste den 13:de biten brytas för att man ska korsa gränsen minst 97 procent kapat.

Svar: 13 bitar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Studentexamen MaA våren 2017 Del A

De följande uppgifterna ska lösast utan tekniska hjälpmedel